Ecuaciones 

Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.

Ejemplos de ecuaciones:

36 + x	=	– 12
115	=	4x – 41
x + 124	=	70 – 2
5x + 3y – 4	=	0
5 – ab	=	ax – by
2x + 8	=	3x – 12
0	=	3xy + 3x – 5
2/3x ÷ 4/7y	=	– 28

En estos ejemplos puede observarse lo siguiente:

Hay una expresión escrita a la izquierda del signo igual y hay una expresión escrita a la derecha del signo igual. La que está antes del signo igual recibe el nombre de primer miembro , la expresión que está a la derecha del signo igual se llama segundo miembro.

En una ecuación puede haber más de una incógnita; es decir, más de un valor desconocido.

Una incógnita puede tener como exponente al número 1 (x 1 = x ), al número 2 (x 2 ), al número 3 (x 3 ), al número 4 (x 4 ), etc. El exponente indica el grado de la ecuación  . Debe leerse "equis elevado a uno, equis elevado a dos, etc."

¿Cuándo está resuelta una ecuación?

Una ecuación está resuelta cuando se ha encontrar el valor o los valoresde la o las incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de raíz o solución.

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo al grado de la incógnita (la variable).

Pero veamos que significa Grado, en álgebra.

El grado de un monomio  o el de una expresión algebraica es un valor referido a los exponentes  de las  variables (referido a los números que indican la potencia de la variable; dicho en simple,  al numerito chico arriba de las letras).

Entonces, el grado puede referirse a un monomio o a un polinomio, y para cada uno puede ser absoluto o relativo.

Grado absoluto de un monomio

El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes de todas las letras o variables.

El grado de 2x 2 y 3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

Grado absoluto de un polinomio

El grado absoluto de un polinomio está dado por aquel del término con más alto valor absoluto de todos los que componen la expresión o polinomio.

El grado absoluto de 6x 3 y 4 z 2 + x 5 y 2 es: 3 + 4 + 2 = 9 (que es el valor absoluto del término 6x 3 y 4 z 2 ).

Nota:

Cuando una variable  (una letra) no posee exponente, se entiende que es 1, que no se escribe pero que se considera para la suma de exponentes de un término.

Así:

El grado de 2x 2 y 3 z es: 2 + 3 + 1 = 6 (el exponente de z es 1)

Grado relativo

El grado relativo de un monomio se refiere al valor que arroje la suma de los exponentes de variables iguales:

Así, en el término 5x 3 y 2 z 5

El grado relativo a x es 3

El grado relativo a y es 2

El grado relativo a z es 5

Grado de una ecuación

El grado de una ecuación lo marca el monomio (o término) de mayor grado absoluto.

5x + 3 = 2x + 1 Ecuación de primer grado (cada término posee solo una incógnita y su exponente es uno) .

5x + 3 = 2x 2 + x Ecuación de segundo grado.

5xy + 3 = 2xy + x Ecuación de segundo grado. (El grado del monomio 5xy es 2)

5x 3 + 3 = 2x +x 2 Ecuación de tercer grado .

5x 2 y + 3 = 2x + x 2 y Ecuación de tercer grado (El grado del monomio 5x 2 y es 3)

5x 3 + 3 = 2x 4 +1 Ecuación de cuarto grado.

Resumiremos lo anterior en el siguiente cuadro:

ECUACIÓN	INCÓGNITA	EXPONENTE	GRADO
8x + 38 = 29	x	1	1°
4y 2 + 12 = 6y	y	2	2°
4xy +12 = 6xy	xy	1 + 1 = 2	2º
z 3 - 8z 2 + z = 7	z	3	3°
z 2 y - 12 + z = 7zy	zy	2 + 1 = 3	3º
x 4 - 17x 2 + 16 = 0	x	4	4°

Ejemplo de resolución de ecuaciones

Máximo Común Divisor (MCD)

El máximo común divisor (MCD) de dos o más números naturales o enteros (no números con decimales) es el número más grande que los divide.

Para descubrir cuáles son los números que les divide existen dos formas: la forma larga y la forma corta. Esto lo explicaremos a través de un ejemplo. Ejemplo:

Forma larga

Máximo común divisor (MCD) de 10 y 20:

Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10.


Importante: los divisores se sacan dividiendo, es decir, todo número que dividido por el número que estamos analizando da 0 en el residuo. 

Por ejemplo:

6 no es divisor de 10 porque el residuo da 4 y tiene que ser 0.

Una vez que sabemos que los divisores de 10 y de 20 son: 

Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10.

Vamos a ver cuáles son los números que coinciden los cuales son:

Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10.

Divisores de 10 y 20 son: 1, 2, 5 y 10.

El máximo común divisor sería el 10 porque es el número más grande que, a su vez, es divisor de ambos número (10 y 20).

Forma corta

Para número más grandes es más fácil hacer una descomposición en factores primos. Esta descomposición la empezamos siempre con el número más pequeño divisible del número que analizamos. Por ejemplo, para descubrir el máximo común divisor de 40 y 60. Escribimos el número que vamos a descomponer a la derecha (en este caso el 40) y seguidamente trazamos una recta vertical. Será detrás de esta donde colocaremos los factores primos empezando por el más pequeño. Haremos lo mismo con el 60.

En este paso hemos dividido 40:2=20. Ahora buscaremos el mínimo divisor de 20 que es 2 y hacemos lo mismo 20:2= 10. Y seguiremos haciendo lo mismo con todos los anteriores.

¡Truco! Si quieres saber si has hecho bien la descomposición de ffactores primos se puede comprobar multiplicando. Empezando por abajo, multiplicas el último número de la izquierda (multiplicando) con el último de la derecha (multiplicador), el resultado debe ser el número de arriba del multiplicando.

Ejemplo:

El último número es el 5 (multiplicando) el multiplicador será el 1 y el resultado es el 5. Lo mismo pasa si 5 (multiplicando) lo multiplicas por 2 (multiplicador) es igual a 10.

Una vez descompuesto el número 40 sabemos que 40 es divisor de:

MCD de 40 = 2x2x2x5

El mismo proceso seguiremos con el número 60:

Una vez fragmentados ambo

MCD de 60 = 2x2x5x5

Una vez fragmentados ambos números vemos que:

Los divisores de 40 son: 2x2x2x5

Los divisores de 60 son: 2x2x3x5

Observamos cuales son los números que se repiten (los que estan en negrita) y los multiplicamos:

2x2x5= 20

El máximo común divisor de 40 y 60 es 20

Mas Ejemplos

Divisiones con punto decimal

Que es una división: Una división con punto decimal se puede realizar de diferentes formas según la posición del decimal, que puede estar en el divisor, en el dividendo, o en ambos, esto genera una pequeña variación en el proceso de la operación. Es por eso que puedes ver a continuación ejercicios de divisiones con punto decimal con los diferentes ejemplos para que puedas aclarar las dudas que tengas con este tipo de divisiones.

Las divisiones decimales son indispensables en la vida diaria, pues los utilizamos de muchas maneras, como cuando adquirimos 1.5 kilos de verduras o debemos recortar una tela 0.5 centímetros, etcétera.

Quien las invento: Johann Heinrich Rahn, en 1659

Ejemplo de resolución de división